Библиографическое описание: Татьяненко А. А., Татьяненко С. А. Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге // Юный ученый. — 2016. — №3..03.2019).



При подготовке к основному государственному экзамену я встретился с заданиями, в которых требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на клетчатом листе бумаги. Как правило, эти задания не вызывают больших затруднений, если фигура представляет собой трапецию, параллелограмм или треугольник. Достаточно хорошо знать формулы вычисления площадей этих фигур, посчитать количество клеточек и вычислить площадь. Если фигура представляет собой некоторый произвольный многоугольник, то здесь необходимо использовать особые приемы. Меня заинтересовала данная тема. И естественно возникли вопросы: где в повседневной жизни могут возникнуть задачи на вычисление площадей на клетчатой бумаге? В чем особенность таких задач? Существуют ли другие методы или же универсальная формула для вычисления площадей геометрических фигур, изображенных на клетчатой бумаге?

Изучение специальной литературы и интернет источников, показало, что существует универсальная формула, позволяющая вычислить площадь фигуры, изображенной на клетке. Эта формула называется формулой Пика. Однако, в рамках школьной программы данная формула не рассматривается, несмотря на свою простоту в применении и получении результата. Более того, мною проведен опрос друзей и одноклассников (в двух формах: при личной беседе и в социальных сетях), в котором приняли участие 43 учащихся школ города Тобольска. Данный опрос показал, что всего один человек (учащийся 11 класса) знаком с формулой Пика для вычисления площадей.

Пусть задана прямоугольная система координат. В этой системе рассмотрим многоугольник, который имеет целочисленные координаты. В учебной литературе точки с целочисленными координатами называются узлами. Причем многоугольник не обязательно должен быть выпуклым. И пусть требуется определить его площадь.

Возможны следующие случаи.

1. Фигура представляет собой треугольник, параллелограмм, трапецию:

1) подсчитывая клеточки нужно найти высоту, диагонали или стороны, которые требуются для вычисления площади;

2) подставить найденные величины в формулу площади.

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 1 с размером клетки 1см на 1 см.

Рис. 1. Треугольник

Решение. Подсчитываем клеточки и находим: . По формуле получаем: .

2 Фигура представляет собой многоугольник

Если фигура представляет собой многоугольник то возможно использовать следующие методы.

Метод разбиения:

1) разбить многоугольник на треугольники, прямоугольники;

2) вычислить площади полученных фигур;

3) найти сумму всех площадей полученных фигур.

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см методом разбиения.

Рис. 2. Многоугольник

Решение. Способов разбиения существует множество. Мы разобьем фигуру на прямоугольные треугольники и прямоугольник как показано на рисунке 3.

Рис. 3. Многоугольник. Метод разбиения

Площади треугольников равны: , , , площадь прямоугольника - . Складывая площади всех фигур получим:

Метод дополнительного построения

1) достроить фигуру до прямоугольника

2) найти площади полученных дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника

3) из площади прямоугольника вычесть площади всех «лишних» фигур.

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см методом дополнительного построения.

Решение. Достроим нашу фигуру до прямоугольника как показано на рисунке 4.

Рис. 4. Многоугольник. Метод дополнения

Площадь большого прямоугольника равна , прямоугольника, расположенного внутри - , площади «лишних» треугольников - , , тогда площадь искомой фигуры .

При вычислении площадей многоугольников на клетчатой бумаге возможно использовать еще один метод, который носит название формула Пика по фамилии ученого ее открывшего.

Формула Пика

Пусть у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге только целочисленные вершины. Точки у которых обе координаты целые называются узлами решетки. Причем, многоугольник может быть как выпуклым, так и невыпуклым.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна , где B - количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г - количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Например, для многоугольника, изображенного на рисунке 5.

Рис. 5. Узлы в формуле Пика

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см по формуле Пика.

Рис. 6. Многоугольник. Формула Пика

Решение. По рисунку 6: В=9, Г=10, тогда по формуле Пика имеем:

Ниже приведены примеры некоторых задач, разработанных автором на вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

1. В детском саду дети сделали аппликации родителям в подарок (рис.7). Найдите площадь аппликации. Размер каждой клетки равен 1см 1см.

Рис. 7. Условие задачи 1

2. Один гектар еловых насаждений может задерживать в год до 32 т пыли, сосновых - до 35 т, вяза - до 43 т, дуба - до 50 т. бука - до 68 т. Посчитайте, сколько тонн пыли задержит ельник за 5 лет. План ельника изображен на рисунке 8 (масштаб 1 см. - 200 м.).

Рис. 8. Условие задачи 2

3. В орнаментах хантов и манси, преобладают геометрические мотивы. Часто встречаются стилизованные изображения животных. На рисунке 9 изображен фрагмент мансийского орнамента «Заячьи ушки». Вычислите площадь закрашенной части орнамента.

Рис. 9. Условие задачи 3

4. Требуется покрасить стену заводского здания (рис. 10). Рассчитайте требуемое количество водоэмульсионной краски (в литрах). Расход краски: 1 литр на 7 кв. метров Масштаб 1см - 5м.

Рис. 10. Условие задачи 4

5. Звездчатый многоугольник - плоская геометрическая фигура, составленная из треугольных лучей, исходящих из общего центра, сливающихся в точке схождения. Особого внимания заслуживает пятиконечная звезда - пентаграмма. Пентаграмма - это символ совершенства, ума, мудрости и красоты. Это простейшая форма звезды, которую можно изобразить одним росчерком пера, ни разу не оторвав его от бумаги и при этом ни разу же не пройдя дважды по одной и той же линии. Нарисуйте пятиконечную звездочку не отрывая карандаша от листа клетчатой бумаги, так, чтобы все углы получившегося многоугольника находились в узлах клетки. Вычислите площадь полученной фигуры.

Проанализировав математическую литературу и разобрав большое количество примеров по теме исследования, я пришел к выводу, что выбор метода вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге зависит от формы фигуры. Если фигура представляет собой треугольник, прямоугольник, параллелограмм или трапецию, то удобно воспользоваться всем известными формулами для вычисления площадей. Если фигура представляет собой выпуклый многоугольник, то возможно использовать как метод разбиения, так и дополнения (в большинстве случаях удобнее - метод дополнения). Если фигура представляет собой невыпуклый или звездчатый многоугольник, то удобнее применить формулу Пика.

Поскольку формула Пика является универсальной формулой для вычисления площадей (если вершины многоугольника находятся в узлах решетки), то ее можно использовать для любой фигуры. Однако, если многоугольник занимает достаточно большую площадь (или клетки мелкие), то велика вероятность допустить ошибку в подсчетах узлов решетки. Вообще, в ходе исследования, я пришел к выводу, что при решении подобных задач в ОГЭ лучше воспользоваться традиционными методами (разбиения или дополнения), а результат проверить по формуле Пика.

Литература:

1. Вавилов В. В., Устинов А. В. Многоугольники на решетках. - М.: МЦНМО, 2006. - 72 с.
2. Васильев И. Н. Вокруг формулы Пика// Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». - 1974. - № 12. Режим доступа: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
3. Жарковская Н., Рисс Е. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика. // Первое сентября. Математика. - 2009. -№ 23. - с.24,25.

Формула Пика

Сажина Валерия Андреевна, учащаяся 9 класса МАОУ «СОШ№11» г Усть-Илимск Иркутской области

Руководитель: Губарь Оксана Михайловна, учитель математики высшей квалификационной категории МАОУ «СОШ№11» г Усть-Илимск Иркутской области

2016 год

Введение

При изучении темы геометрии «Площади многоугольников», я решила узнать: существует ли способ нахождения площадей, отличный от тех, которые мы изучали на уроках?

Таким способом является формула Пика. Л. В. Горина в «Материалах для самообразования учащихся» так описывала данную формулу: «Ознакомление с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ЕГЭ и ГИА. С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, - это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге. Маленькая формула Пика заменит целый комплект формул, необходимых для решения таких задач. Формула Пика будет работать «одна за всех…»!».

В материалах ЕГЭ мне встретились задачи с практическим содержанием на нахождение площади земельных участков. Я решила проверить, применима ли данная формула для нахождения площади территории школы, микрорайонов города, области. А так же рационально ли ее применение для решения задач.

Объект исследования: формула Пика.

Предмет исследования: рациональность применение формулы Пика при решении задач.

Цель работы: обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Подобрать необходимую литературу, проанализировать и систематизировать полученную информацию;

Рассмотреть различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге;

Проверить экспериментальным путем рациональность использования формулы Пика;

Рассмотреть применение данной формулы.

Гипотеза: если применить формулу Пика для нахождения площадей многоугольника, то можно найти площадь территории, а решение задач на клетчатой бумаге будет более рационально.

Основная часть

Теоретическая часть

Клетчатая бумага (точнее - ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости. Уже эта простая решетка послужила К. Гауссу отправной точкой для сравнения площади круга с числом точек с целыми координатами, находящихся внутри него. То, что некоторые простые геометрические утверждения о фигурах на плоскости имеют глубокие следствия в арифметических исследованиях, было в явном виде замечено Г. Минковским в 1896 г., когда он впервые для рассмотрения теоретико-числовых проблем привлек геометрические методы .

Нарисуем на клетчатой бумаге какой-нибудь многоугольник (Приложение 1, рисунок 1). Попробуем теперь рассчитать его площадь. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и трапецию, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты.

Использованный способ несложен, но очень громоздок, кроме того он годится не для всяких многоугольников. Так следующий многоугольник нельзя разбить на прямоугольные треугольники, так как мы это проделали в предыдущем случае (Приложение 2, рисунок 2). Можно, например, попробовать дополнить его до «хорошего», нужного нам, то есть до такого, площадь которого мы сможем вычислить описанным способом, потом из полученного числа вычесть площади добавленных частей.

Однако оказывается, что есть очень простая формула, позволяющая вычислить площади таких многоугольников с вершинами в узлах квадратной сетки.

Эту формулу открыл австрийский математик Пик Георг Александров (1859 – 1943 г.г.) в 1899 году. Кроме этой формулы Георг Пик открыл теоремы Пика, Пика – Жюлиа, Пика – Невалины, доказал неравенство Шварца – Пика.

Эта формула оставалась незамеченной в течение некоторого времени после того, как Пик её опубликовал, однако в 1949 г. польский математик Гуго Штейнгауз включил теорему в свой знаменитый «Математический калейдоскоп». С этого времени теорема Пика стала широко известна. В Германии формула Пика включена в школьные учебники.

Она является классическим результатом комбинаторной геометрии и геометрии чисел.

Доказательство формулы Пика

Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (Приложение 3, рисунок 3).

Обозначим через В - количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г - количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки

вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна

S = В + + 4 · = В + - 1 .

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В + - 1 . Это и есть формула Пика.

Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки.

Практическая часть

Нахождение площади фигур геометрическим методом и по формуле Пика

Я решила убедиться в том, что формула Пика верна для всех рассмотренных примеров.

Оказывается, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика.

Я рассмотрела некоторые задачи на клетчатой бумаге с клетками размером 1 см1 см и провела сравнительный анализ по решению задач (Таблица№1).

Таблица№1 Решение задач различными способами.

Рисунок

По формуле геометрии

По формуле Пика

Задача №1

S=S пр -(2S 1 +2S 2 )

S пр =4*5=20 см 2

S 1 =(2*1)/2=1 см 2

S 2 =(2*4)/2=4 см 2

S=20-(2*1+2*4)=10 см 2

Ответ :10 см ².

В = 8, Г = 6

S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)

Ответ: 10 см².

Задача №2

a=2, h=4

S=a*h=2*4=8 см 2

Ответ : 8 см ².

В = 6, Г = 6

S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²)

Ответ: 8 см².

Задача №3

S=S кв -(S 1 +2S 2 )

S кв =4 2 =16 см 2

S 1 =(3*3)/2=4,5см 2

S 2 =(1*4)/2=2см 2

S =16-(4,5+2*2)=7.5 см 2

В = 6, Г = 5

S = 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²)

Ответ: 7,5 см².

Задача №4

S=S пр -(S 1 +S 2+ S 3 )

S пр =4 * 3=12 см 2

S 1 =(3*1)/2=1,5 см 2

S 2 =(1*2)/2=1 см 2

S 3 =(1+3)*1/2=2 см 2

S=12-(1,5+1+2)=7.5 см 2

В = 5, Г = 7

S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)

Ответ: 7,5 см².

Задача № 5.

S=S пр -(S 1 +S 2+ S 3 )

S пр =6 * 5=30 см 2

S 1 =(2*5)/2=5 см 2

S 2 =(1*6)/2=3 см 2

S 3 =(4*4)/2=8 см 2

S=30-(5+3+8)=14 см 2

Ответ: 14 см²

В = 12, Г = 6

S = 12 + 6/2 – 1 = 14 (см²)

Ответ: 14 см²

Задача №6.

S тр =(4+9)/2*3=19,5 см 2

Ответ: 19,5 см 2

В = 12, Г = 17

S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (см²)

Ответ: 19,5 см 2

Задача №7. Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м

S= S 1 +S 2+ S 3

S 1 =(800*200)/2=80000 м 2

S 2 =(200*600)/2=60000 м 2

S 3 =(800+600)/2*400=

280000 м 2

S= 80000+60000+240000=

420000м 2

Ответ: 420 000 м²

В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: 420 000 м²

Задача №8 . Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе

1 см – 200 м.

S = S кв -2(S тр + S трап )

S кв =800 * 800=640000 м 2

S тр =(200*600)/2=60000м 2

S трап =(200+800)/2*200=

100000м 2

S =640000-2(60000+10000)=

320000 м 2

Ответ: 320 000 м²

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1

В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: 320 000 м²

Задача №9 . Найдите площадь S сектора, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

Сектор является одной четвертой частью круга и, следовательно, его площадь равна одной четвертой площади круга. Площадь круга равна π R 2 , где R – радиус круга. В нашем случае R =√5 и, следовательно, площадь S сектора равна 5π/4. Откуда S /π=1,25.

Ответ. 1,25.

Г= 5, В= 2, S = В + Г/2 – 1= 2 + 5/2 – 1= 3,5, ≈ 1,11

Ответ. 1,11.

Задача №10. Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

Площадь кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов. Радиус R внешнего круга равен

2 , радиус r внутреннего круга равен 2. Следовательно, площадь кольца равна 4 и, следовательно, . Ответ:4.

Г= 8, В= 8, S = В + Г/2 – 1= 8 + 8/2 – 1=11, ≈ 3,5

Ответ:3,5

Выводы: Рассмотренные задания аналогичны заданию из вариантов контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике (задачи №5,6),.

Из рассмотренных решений задач я увидела, что некоторые из них, например задачи № 2,6, легче решить, применяя геометрические формулы, так как высоту и основание можно определить по рисунку. Но в большинстве задач требуется разбиение фигуры на более простые (задача №7) или достраивание до прямоугольника (задачи №1,4,5), квадрата (задачи №3,8).

Из решения задач №9 и №10 я увидела, что применение формулы Пика к фигурам, которые не являются многоугольниками, даёт приближённый результат.

Для того, чтобы проверить рациональность применения формулы Пика, я провела исследование на предмет затраченного времени (Приложение 4, таблица №2).

Вывод: из таблицы и диаграммы (Приложение 4, диаграмма 1) видно, что при решении задач с помощью формулы Пика, времени затрачивается гораздо меньше.

Нахождение площади поверхности пространственных форм

Проверим применимость этой формулы к пространственным формам (Приложение 5, рисунок 4).

Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Это недостаток формулы.

Применение формулы Пика для нахождения площади территории

Решая задачи с практическим содержанием, (задачи №7,8; таблица №1), я решила применить данный способ для нахождения площади территории нашей школы, микрорайонов города Усть-Илимска, Иркутской области.

Ознакомившись с «Проектом границ земельного участка МАОУСОШ№11 г.Усть-Илимска» (Приложение 6),, я нашла площадь территории нашей школы и сравнила с площадью по проекту границ земельного участка (Приложение 9, таблица 3).

Рассмотрев карту правобережной части Усть-Илимска (Приложение 7),, я вычислила площади микрорайонов и сравнила с данными из «Генерального плана г. Усть-Илимска Иркутской области». Результаты представила в таблице (Приложение 9, таблица 4).

Рассмотрев карту Иркутской области (Приложение 7),, я нашла площадь территории и сравнила с данными из Википедии . Результаты представила в таблице (Приложение 9, таблица 5).

Проанализировав результаты, я пришла к выводу: по формуле Пика эти площади можно найти гораздо проще, но результаты приблизительные.

Из проведенных исследований наиболее точное значение я получила при нахождении площади территории школы (Приложение 10, диаграмма 2). Большее расхождение в результатах получилось при нахождении площади Иркутской области (Приложение 10, диаграмма 3). Это связано с тем. Что не все границы области являются сторонами многоугольников, и вершины не являются узловыми точками.

Заключение

В результате моей работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определила для себя классификацию исследуемых задач.

При выполнении работы были решены задачи на нахождение площади многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге двумя способами: геометрическим и с помощью формулы Пика.

Анализ решений и эксперимент по определению затраченного времени показал, что применение формулы даёт возможность решать задачи на нахождение площади многоугольника, более рационально. Это позволяет экономить время на ЕГЭ по математике.

Нахождение площади различных фигур, изображённых на клетчатой бумаге, позволило сделать вывод, что использование формулы Пика для вычисления площади кругового сектора и кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат, и, что формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.

Так же в работе были найдены площади различных территорий по формуле Пика. Можно сделать вывод: использование формулы для нахождения площади различных территорий возможно, но результаты получаются приблизительными.

Выдвинутая мной гипотеза подтвердилась.

Я пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому я решила продолжить работу в этом направлении.

Литература

Волков С.Д.. Проект границ земельного участка, 2008 г, с. 16.

Горина Л.В., Математика. Все для учителя, М:Наука, 2013 г.. №3, с. 28.

Прокопьева В.П., Петров А.Г., Генеральный план города Усть-Илимска Иркутской области, Госстрой России, 2004 г.. с. 65.

Рисс Е. А. , Жарковская Н. М. , Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика. - Москва, 2009, № 17, с. 24-25.

Смирнова И. М. ,. Смирнов В. А, Геометрия на клетчатой бумаге. – Москва, Чистые пруды, 2009, с. 120.

Смирнова И. М. , Смирнов В. А. , Геометрические задачи с практическим содержанием. – Москва, Чистые пруды, 2010, с. 150

Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2015.

Карта города Усть-Илимска.

Карта Иркутской области.

Википедия.

Эту темa будет интереснa учащимся 10-11 классов в рaмкaх подготовки к ЕГЭ. Формулу Пикa можно применять при вычислении площади фигуры, изобрaжённой на клетчaтой бумаге (это зaдaние предложенно в контрольно-измерительных мaтериaлaх ЕГЭ).

Ход урока

"Предмет математики настолько серьезен,

что полезно не упускать случая

сделать его немного занимательным"

(Б. Паскаль)

Учитель: Есть задачи, которые необыкновенные и не похожи на задачи из школьных учебников? Да, это задачи на клетчатой бумаге. Такие задачи есть в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. В чём же зaключaется особенность тaких задач, кaкие методы и приёмы используются для решения зaдaч нa клетчатой бумaге? Нa этом зaнятии мы исследуем зaдaчи нa клетчaтой бумaге, связaнные с нaхождением площади изображённой фигуры, и научимся вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке.

Учитель: Объектом исследовaния будут задачи на клетчатой бумаге.

Предметом нашего исследования будут задачи нa вычиcление площади многоугольников на клетчатой бумаге.

И целью исcледования будет формула Пика.

В - количеcтво целочисленных точек внутри многоугольника

Г - количество целочисленных точек на границе многоугольника

Это удобная формула, с помощью которой можно вычислить площадь любого многоугольника без самопересечений с вершинами в узлах клетчатой бумаги.

Кто же такой Пик? Пик Георг Алекcандров (1859-1943 гг.) - австрийский математик. Открыл формулу в 1899 году.

Учитель: Сформулируем гипотезу: площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика, равна площади фигуры, вычисленной по формулам геометрии.

При решении задач на клетчатой бумаге нам понадобится геометрическое воображение и достаточно проcтые сведения, которые нам известны:

Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения cторон, образующих прямой угол.

Учитель: Узлы cетки - точки, в которых пересекаются линии сетки.

Внутренние узлы многоугольника - синие. Узлы на границах многоугольника - коричневые.

Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги.

Учитель: Проведём исследования для треугольника. Сначала посчитаем площадь треугольника по формуле Пика.

В + Г /2 − 1 , где В Г — количество целочиcленных точек на границе многоугольника.

В = 34 , Г = 15 ,

В + Г /2 − 1 = 34 + 15 :2 − 1 = 40, 5 Ответ: 40, 5

Учитель : Теперь посчитаем площадь треугольника по формулам геометрии. Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как cумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника. Учащиеся выполняют вычисления в тетрадях. Затем проверяют свои результаты с вычислениями на доске.

Учитель: Сравнив результаты исследований, сделайте вывод. Получили, что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика, равна площади фигуры, вычисленной по формулам геометрии. Итак, гипотеза оказалась верной.

Далее учитель предлагает вычислить площадь «своего» произвольного многоугольника по формулам геометрии и по формуле Пика и сравнить полученные результаты. «Поиграть» с формулой Пика можно на сайте математических этюдов.

В заключение статьи предлагается одна из работ по теме «Вычисление площади произвольного многоугольника с помощью формулы Пика» .

Еще п ример:

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна В + Г /2 − 1 , где В есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В = 10 , Г = 6 ,

В + Г /2 − 1 = 10 + 6 :2 − 1 = 12 ОТВЕТ: 12

Учитель : Предлагаю вашему вниманию еще решить следующие задачи:

Ответ: 12

Ответ: 13

Ответ: 9

Ответ: 11,5

Ответ: 4

Существует замечательная формула, которая позволяет считать площадь многоугольника на координатной сетке почти без ошибок. Это даже не формула, а настоящая теорема . На первый взгляд, она может показаться сложной. Но достаточно решить пару задач - и вы поймете, насколько это крутая фишка. Так что вперед!

Для начала введем новое определение:

Узел координатной стеки - это любая точка, лежащая на пересечении вертикальных и горизонтальных линий этой сетки.

Обозначение:

На первой картинке узлы вообще не обозначены. На второй обозначены 4 узла. Наконец, на третьей картинке обозначены все 16 узлов.

Какое отношение это имеет к задаче B5? Дело в том, что вершины многоугольника в таких задачах всегда лежат в узлах сетки. Как следствие, для них работает следующая теорема:

Теорема. Рассмотрим многоугольник на координатной сетке, вершины которого лежат в узлах этой сетки. Тогда площадь многоугольника равна:

где n - число узлов внутри данного многоугольника, k - число узлов, которые лежат на его границе (граничных узлов).

В качестве примера рассмотрим обычный треугольник на координатной сетке и попробуем отметить внутренние и граничные узлы.

На первой картинке дан обычный треугольник. На второй отмечены его внутренние узлы, число которых равно n = 10. На третей картинке отмечены узлы лежащие на границе, их всего k = 6.

Возможно, многим читателям непонятно, как считать числа n и k . Начните с внутренних узлов. Тут все очевидно: закрашиваем треугольник карандашом и смотрим, сколько узлов попало под закраску.

С граничными узлами чуть сложнее. Граница многоугольника - замкнутая ломаная , которая пересекает координатную сетку во многих точках. Проще всего отметить какую-нибудь «стартовую» точку, а затем обойти остальные.

Граничными узлами будут только те точки на ломаной, в которых одновременно пересекаются три линии :

1. Собственно, ломаная;
2. Горизонтальная линия координатной сетки;
3. Вертикальная линия.

Посмотрим, как все это работает в настоящих задачах.

Задача. Найдите площадь треугольника, если размер клетки равен 1 x 1 см:

Для начала отметим узлы, которые лежат внутри треугольника, а также на его границе:

Получается, что внутренний узел всего один: n = 1. Граничных узлов - целых шесть: три совпадают с вершинами треугольника , а еще три лежат на сторонах. Итого k = 6.

Теперь считаем площадь по формуле:

Вот и все! Задача решена.

Задача. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Снова отмечаем внутренние и граничные узлы. Внутренних узлов всего n = 2. Граничных узлов: k = 7, из которых 4 являются вершинами четырехугольника , а еще 3 лежат на сторонах.

Остается подставить числа n и k в формулу площади:

Обратите внимание на последний пример. Эту задачу реально предлагали на диагностической работе в 2012 году. Если работать по стандартной схеме, придется делать много дополнительных построений. А методом узлов все решается практически устно.

Важное замечание по площадям

Но формула - это еще не все. Давайте немного перепишем формулу, приведя слагаемые в правой части к общему знаменателю . Получим:

Числа n и k - это количество узлов, они всегда целые. Значит, весь числитель тоже целый. Мы делим его на 2, из чего следует важный факт:

Площадь всегда выражается целым числом или дробью . Причем в конце дроби всегда стоит «пять десятых»: 10,5; 17,5 и т.д.

Таким образом, площадь в задаче B5 всегда выражается целым числом или дробью вида ***,5. Если ответ получается другим, значит, где-то допущена ошибка. Помните об этом, когда будете сдавать настоящий ЕГЭ по математике!

Формула Пика

1. Введение

2. Формула Пика. Доказательство I .

Доказательство II .

Доказательство Ш.

3. Задачи.

4. Формула площади многоугольника через координаты вершин.

5. Задачи.

6. Литература

Формула Пика.

1. Введение.

В истории черпаем мы мудрость,

в поэзии - остроумие,

в математике - проницательность.

Ф. Бэкон

Сюжет будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги.

Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток - узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах и найдём его площадь.

Искать её можно по - разному. Например, можно разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площади и сложить.

Но тут нас ждёт много хлопот. Фигура легко разбивается на прямоугольники, трапеции, и треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.

Хотя многоугольник и выглядит достаточно просто, для вычисления его площади придется изрядно потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причуд­ливо? Оказывается, площади многоугольни­ков, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с коли­чеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.

2. Формула Пика.

Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах целочисленной решетки. Внутри его лежит В узлов решетки, а на границе Г узлов. Докажем, что его площадь равна В + – 1 (формула Пика).

Доказательство I .

Рассмотрим многоугольник, вершины которого находятся в узлах целочисленной решётки, то есть имеют целочисленные координаты.

Многоугольник разобьём на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах.

Обозначим:

n – число сторон многоугольника,

m – количество треугольников с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах,

В – число узлов внутри многоугольника,

Г – число узлов на сторонах, включая вершины.

Площади всех этих треугольников одинаковы и равны .

Следовательно, площадь многоугольника равна
.

180 0 m .

Теперь найдём эту сумму другим способом.

Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 360 0 .

Тогда сумма углов с вершинами во всех внутренних узлах равна 360 0 В.

Общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна 180 0 (Г – n ).

Сумма углов при вершинах многоугольника равна 180 0 (n – 2) .

Общая сумма углов всех треугольников равна 360 0 В + 180 0 (Г – n ) + 180 0 (n – 2).

Таким образом, 180 0 m = 360 0 В + 180 0 (Г – n ) + 180 0 (n – 2),

180 0 m = 360 0 В + 180 0 Г – 180 0 n + 180 0 n – 180 0 ·2,

180 0 m = 360 0 В + 180 0 Г– 360 0 ,

= В + – 1 ,

откуда получаем выражение для площади S многоугольника:

S = В + – 1 ,

известное как формула Пика.

На рисунке: В = 24, Г = 9, следовательно, S = 24 + – 1 = 27,5.

Найдём площадь первого многоугольника по формуле Пика:

В = 28 (зеленые точки);

Г = 20 (синие точки).

Получаем, S =
= 37 кв.ед.

Доказательство II .

Каждому многоугольнику M с вершинами в узлах целочисленной решетки поставим в соответствие число f (M) =
, где суммирование ведётся по всем узлам решётки, принадлежащим M, а угол определяется следующим образом: =
для внутренней точки многоугольника, =
для граничной точки, отличной от вершины, и – угол при вершине, если данный узел – вершина. Легко видеть, что f (M) =
+
= В + – 1. Остаётся проверить, что число f (M) равно площади многоугольника M.

Пусть многоугольник M разрезан на многоугольники M 1 и M 2 с вершинами в узлах решетки. Тогда f (M) = f (M 1) + f (M 2), поскольку для каждого узла углы складываются. Поэтому если формула Пика верна для двух из многоугольников M, M 1 и M 2 , то она верна и для третьего.

Если M - прямоугольник со сторонами p и q , направленными по линиям решетки, то

f (M) = (p – 1)(q – 1) +
= pq.

В этом случае формула Пика справедлива. Разрезав прямоугольник M диагональю на треугольники M 1 и M 2 и воспользовавшись тем, что f (M) = f (M 1) + f (M 2) и f (M 1) = f (M 2), легко доказать справедливость формулы Пика для любого прямоугольного треугольника с катетами, направленными по линиям решетки. Отрезав несколько таких треугольников от прямоугольника, можно получить любой треугольник.

Для завершения доказательства формулы Пика остается заметить, что любой многоугольник можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями.

Доказательство Ш.

Связь между площадью фигуры и количе­ством узлов, попавших в эту фигуру, особенно ясно видна в случае прямоугольника.

Пусть ABCD - прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки.

Обозначим через В количество узлов, лежа­щих внутри прямоугольника, а через Г - ко­личество узлов на его границе. Сместим сетку на пол клетки вправо и полклетки вниз.

Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещенной сетки, каждый из Г – 4 гра­ничных неугловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу

Докажем, что эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки.

Обозначим через S м площадь многоуголь­ника М с вершинами в узлах, а через П м – величину
, где В м – число узлов внутри М, а Г м - число узлов на границе. Тогда формулу Пика можно записать в виде
.

Доказательство формулы разобьем на не­сколько шагов.

Шаг 1.

Если многоугольник М с вершина­ми в узлах сетки разрезан на 2 многоугольни­ка М 1 и М 2 , также имеющих вершины только в узлах сетки, то
. Пусть многоугольник М разрезан на много­угольники М 1 и М 2 с вершинами в узлах отрез­ком АВ. Все узлы, кроме тех, которые попадают на отрезок АВ, дают одинаковый вклад в левую и правую части формулы. Рассмотрим узлы, лежащие на отрезке АВ.

Если такой узел лежит между А и В (на­пример, С), то для многоугольника М он внутренний, а для многоугольников М 1 и М 2 – граничный. Поэтому его вклад в П м равен 1, а в каждое из выражений
и
– по 0,5, то есть вклады такого узла в П м и
равны.

Рассмотрим узлы А и В. Они граничные как для М , так и для М 1 , М 2 .

Поэтому вклад каждого из этих узлов в П м равен 0,5 а в
- единице. Значит, суммарный вклад узлов А и В в П м равен 1, что на 1 меньше, чем их вклад в
. Но
, а .

Из общего «вклада» всех узлов П м вычи­тается 1, а из
вычитается 2, и это компенсирует разницу вкладов узлов А и В.

Итак,
.

Шаг 2.

Если многоугольник М с вершинами в узлах сетки разрезан на два многоугольника М 1 и М 2 (тоже с вершинами в узлах) и формула верна для каких-то двух из многоугольников М, М 1 , М 2 , то она верна и для третьего многоугольника.

Пусть, например, она верна для М 1 и М 2 , то есть
. Тогда (по первому шагу) , но (по перво­му шагу) последнее выражение равно П м , а равенство
и есть формула Пика.

Шаг 3.

Докажем формулу Пика для пря­моугольного треугольника с вершинами в узлах сетки и катетами, лежащими на линиях сетки.

Треугольник АВС достроим до прямоуголь­ника ABCD .

Для прямоугольников формула Пика верна: S ABCD = П ABCD . Согласно первому шагу П ABCD = П ABC + П ACD , П ABC = П ACD , так что П ABCD = 2П ABC . Но S ABCD = 2 S ABC . Поэтому S ABC = П ABC .

Шаг 4.

Формула Пика верна для произволь­ного треугольника с вершинами в узлах сетки.

Рассмотрев рисунок, легко понять: любой такой треугольник можно получить, «отрезав» от некоторого прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки, несколько прямо­угольников и прямоугольных треугольников с катетами на линиях сетки. А так как формула Пика верна для прямоугольников и прямоугольных треугольников, то (вспомним шаг 2) она верна и для исходного треугольника.

Мы доказали, что если многоугольник мож­но разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика.

3. Задачи.

Найдите площади фигур:

1
.

B = 9

Г = 4

B = 9

Г = 5